Question

17．如圖，AB∥CD，EM是∠AMF的平分線，NF是∠CNE的平分線，EN、MF交于O點
（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度數(shù)；
（2）若圖中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度數(shù)；
（3）探究∠E，∠F與∠MON之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作EH∥AB，如圖，利用平行線的性質(zhì)得EH∥CD，則∠1=∠AME，∠2=∠CNE，于是得到∠E=∠AME+∠CNE，而∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF，所以∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE；同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，再∠AMF=50°，∠CNE=40°代入計算即可；
（2）由（1）的結(jié)論得到∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，變形得到2∠F=2∠AMF+∠CNE，利用等式的性質(zhì)得2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF，加上∠E+60°=2∠F，即2∠F-∠E=60°，于是得到$\frac{3}{2}$∠AMF=60°，易得∠AMF的度數(shù)；
（3）與（1）的證明方法一樣可得∠MON=∠AMF+∠CNE，再變形∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE得到2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，把兩式相加得2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），則∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F），所以∠MON=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F）．

解答 解：（1）作EH∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∴∠E=∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分線，
∴∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE=$\frac{1}{2}$×50°+40°=65°；
同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=50°+$\frac{1}{2}$×40°=70°；
（2）∵∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，
∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF，
∵∠E+60°=2∠F，即2∠F-∠E=60°，
∴$\frac{3}{2}$∠AMF=60°，
∴∠AMF=40°；
（3）與（1）的證明方法一樣可得∠MON=∠AMF+∠CNE，
而∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，
∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F），
∴∠MON=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F）．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．合理作輔助線和把一般結(jié)論推廣是解決問題的關(guān)鍵．