Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點D（0，-4），點C（3，0），△ABC是等腰直角三角形，腰AC=BC，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（2，n）和點B．
（1）過點B作BH垂直于x軸于點H，求線段BH的長；
（2）求反比例函數(shù)的表達式；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）過A作AD⊥x軸于點D，過B作BH⊥x軸于點H，可證得△ADC≌△CHB，可求得BH；
（2）由（1）可用n表示出B點坐標，由A、B都在反比例函數(shù)的圖象上，可得n的值，則可求得n點坐標，可求出反比例函數(shù)解析式；
（3）由A點坐標，可求得AC的長，利用三角形面積公式可求得答案．

解答 解：
（1）如圖，過A作AD⊥x軸于點D，過B作BH⊥x軸于點H，

∵A（2，n），C（3，0），
∴CD=OC-OD=3-2=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCH=90°，
∴∠DAC=∠BCH，
在△ACD和△CBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCH}\\{∠ADC=∠BHC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH=CD=1；

（2）由（1）可知CH=AD=n，
∴OH=OC+CH=3+n，且BH=1，
∴B（3+n，1），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（2，n）和點B，
∴2n=3+n，解得n=3，
∴A（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$；

（3）由（2）可知A（2，3），且C（3，0），
∴AC=$\sqrt{（2-3）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識．在（1）中構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，在（2）中用n表示出B點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用勾股定理求得AC的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．