Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AB=$\sqrt{3}$，點(diǎn)D在AC邊上，且CD=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PA+PD的最小值．

Answer 1

分析 作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E，AE交BC于F，則AE⊥BC，EF=AF，連接DE交BC于P，則PE=PA，從而確定PA+PD=PE+PD=DE的值最小，然后根據(jù)解直角三角形和勾股定理即可求得．

解答 解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E，AE交BC于F，則AE⊥BC，EF=AF，連接DE交BC于P，則PE=PA，
∴PA+PD=PE+PD=DE，
∴PA+PD的最小值為DE，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=60°，AC=$\frac{AB}{tan∠C}$=3，
在RT△ABF中，∠BAF=30°
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=2AF=3，
作EG⊥AC于G，則EG∥AB，
∴∠AEG=∠BAF=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
∴DG=AC-CD-AG=3-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在RT△EGD中，ED=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
∴PA+PD的最小值為$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了軸對稱-最短路線的問題，解直角三角函數(shù)，確定動(dòng)點(diǎn)E何位置時(shí)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵．