Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線l的解析式；
（2）當(dāng)AD-CD最大時(shí)求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)解析式；
（2）AD-CD的最大值就是線段AC的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
則拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；
拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1；
（2）∵A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，3），
∴直線AC的解析式為y=3x+3，
∵點(diǎn)D在直線x=1上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，6）．
則AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即AD-CD的最大值是$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，正確理解AD-BC最大的條件是解題的關(guān)鍵．