Question

8．在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙O經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，且AO=8，則⊙O的半徑長(zhǎng)為2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A在BC異側(cè)，如圖1，作AD⊥BC于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=8，再利用勾股定理可計(jì)算出AD=6，由于AD垂直平分BC，根據(jù)垂徑定理的推論得到點(diǎn)D在AO上，然后連結(jié)OC，在Rt△OCD中利用勾股定理可計(jì)算出OC=2$\sqrt{17}$；當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A在BC同側(cè)，如圖2，作AD⊥BC于點(diǎn)，與前面一樣可得AD=6，點(diǎn)D在AO上，連結(jié)OC，在Rt△OCD中可利用勾股定理計(jì)算出OC=2$\sqrt{65}$．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A在BC異側(cè)，如圖1，
作AD⊥BC于點(diǎn)，∵AB=AC，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=8，
在Rt△ACD中，∵AC=10，CD=8，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵AD垂直平分BC，
∴點(diǎn)D在AO上，
連結(jié)OC，在Rt△OCD中，∵OD=OA-AD=8-6=2，CD=8，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$；
當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A在BC同側(cè)，如圖2，
作AD⊥BC于點(diǎn)，AD=6，點(diǎn)D在AO上，
連結(jié)OC，在Rt△OCD中，∵OD=OA+AD=8+6=14，CD=8，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
綜上所述，⊙O的半徑長(zhǎng)為2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．
故答案為2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)．注意分類討論思想的運(yùn)用．