Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．
（1）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；
（2）現(xiàn)將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，證明△BGE∽△ABE．得到

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2；求出AE的長度，即可解決問題．
（2）如圖，證明∠BAE=30°；證明△ADE′≌△AB′E′，得到∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°；得到AB′與AE在同一直線上；證明△BAG≌△HAG，得到S_{四邊形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵正方形面積為3，
∴AB=

3

．
在△BGE與△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE．
∴

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2．
又∵BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4．
∴AE=2；
∴S△BGE=

BE2

AE2

•S△ABE=

1

4

×

3

2

=

3

8

．
（2）沒有變化．   理由如下：
∵AB=

3

，BE=1，
∴tan∠BAE=

1

3

=

3

3

．
∴∠BAE=30°．
在△ADE′與△AB′E′中，

AE′=AE′ AD=AB′

，
∴△ADE′≌△AB′E′（HL），
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°．   
∴AB′與AE在同一直線上，
即BF與AB′的交點是G．
設BF與AE′的交點為H，
則∠BAG=∠HAG=30°；
在△BAG與△HAG中，

∠BAG=∠HAG AG=AG ∠AGB=∠AGH

，
∴△BAG≌△HAG（ASA），
∴S_{四邊形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE，
∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是認真觀察圖形，找出圖形中隱含的等量關系或全等關系．