Question

7．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當(dāng)t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

分析 （1）過P作PE⊥AB，設(shè)CP=2t，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理進行解答即可；
（2）分類討論：當(dāng)CP=CB時，△BCP為等腰三角形，若點P在AC上得t=3（s），若點P在AB上，則t=5.4s；當(dāng)PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，易得t=$\frac{13}{2}$（s）；當(dāng)BP=BC=3時，△BCP為等腰三角形，則AP=AB-BP=2，易得t=6（s）；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3+3=6；當(dāng)P點在AB上，Q在AC上，則AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6，分別求得t的值即可．

解答 解：（1）如圖1，過P作PE⊥AB，
∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，且∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴CP=EP，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC=4cm=AE，BE=5-4=1，
設(shè)CP=x，則BP=3-x，PE=x，
∴Rt△BEP中，BE²+PE²=BP²，
即1²+x²=（3-x）²
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴BP=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴CA+AB+BP=4+5+$\frac{5}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴t=$\frac{32}{3}$÷1=$\frac{32}{3}$（s）；

（2）如圖2，當(dāng)CP=CB時，△BCP為等腰三角形，
若點P在CA上，則1t=3，
解得t=3（s）；
如圖3，當(dāng)BP=BC=3時，△BCP為等腰三角形，
∴AP=AB-BP=2，
∴t=（4+2）÷1=6（s）；
如圖4，若點P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，則根據(jù)面積法求得CD=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=$\frac{9}{5}$，
∴PB=2BD=$\frac{18}{5}$
∴CA+AP=4+5-$\frac{18}{5}$=5.4，
此時t=5.4÷1=5.4（s）；
如圖5，當(dāng)PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則BD=CD，
∴PD為△ABC的中位線，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴t=（4+$\frac{5}{2}$）÷1=$\frac{13}{2}$（s）；
綜上所述，t為3s或5.4s或6s或$\frac{13}{2}$s時，△BCP為等腰三角形；

（3）如圖6，當(dāng)P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t+2t-3+3=6，
∴t=2（s）；
如圖7，當(dāng)P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-4，AQ=2t-8，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t-4+2t-8=6，
∴t=6（s）；
綜上所述，當(dāng)t=2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．解題時注意，需要作輔助線構(gòu)造直角三角形．