Question

12．關(guān)于x的方程（k-1）x²+2kx+2=0
（1）求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的兩個(gè)根，記S=x₁x₂-x₁-x₂，S的值能為1嗎？若能，求出此時(shí)k的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分二次項(xiàng)系數(shù)為0和非0兩種情況考慮，當(dāng)k-1=0時(shí)，原方程為一元一次方程，解方程可得出此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k-1≠0時(shí)，根據(jù)根的判別式△=b²-4ac，可得出△=4（k-1）²+4＞0，進(jìn)而可得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，綜上即可得出結(jié)論．
（2）假設(shè)能，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{k-1}$、${x_1}{x_2}=\frac{2}{k-1}$，將S進(jìn)行變形代入數(shù)據(jù)即可得出分式方程$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$，解分式方程得出k值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：①當(dāng)k-1=0即k=1時(shí)，方程為一元一次方程2x=2，
x=1有一個(gè)解；
②當(dāng)k-1≠0即k≠1時(shí)，方程為一元二次方程，
∵△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k+8=4（k-1）²+4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
綜合①②得：不論k為何值，方程總有實(shí)根．
（2）解：假設(shè)能，∵x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的兩個(gè)根，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{k-1}$，${x_1}{x_2}=\frac{2}{k-1}$，
∴S=x₁x₂-x₁-x₂=x₁x₂-（x₁+x₂）=1，即$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$，
整理得：2+2k=k-1，解得：k=-3．
經(jīng)檢驗(yàn)：k=-3是分式方程$\frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1$的解．
∴S的值能為1，此時(shí)k的值為-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解分式方程，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式是解題的關(guān)鍵．