Question

5．如圖，已知P為∠AOB內(nèi)任意一點，且∠AOB=30°，點P₁、P₂分別在OA、OB上，求作點P₁、P₂，使△PP₁P₂的周長最小，連接OP，若OP=10cm，求△PP₁P₂的周長．

Answer 1

分析 分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，分別交OA、OB于點P₁、P₂，連接OM、ON、PP₁、PP₂，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP，PP₁=P₁M，PP₂=P₂N，MO=PO=NO，從而求出△OMN是等邊三角形△PP₁P₂的周長等于MN，從而得解．

解答 解：分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，分別交OA、OB于點P₁、P₂，連接OM、ON、PP₁、PP₂，此時△PP₁P₂的周長最小，△PP₁P₂的周長=P₁P₂，PP₁+P₁P₂+PP₂=MP₁+P₁P₂+NP₂=MN，
∵M、N分別是P關于OA、OB的對稱點，
∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP，PP₁=P₁M，PP₂=P₂N，MO=PO=NO，
∴∠MON=∠MOA+∠AOP+∠NOB+∠BOP=2∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠MON=2×30°=60°，
∴△OMN是等邊三角形，
又∵△PP₁P₂的周長=P₁P₂，PP₁+P₁P₂+PP₂=MP₁+P₁P₂+NP₂=MN，
∴△MNP的周長=MN=MO=PO=10cm．

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)得到相等的邊與角是解題的關鍵．