Question

19．如圖，△ABC和△DBE為等腰直角三角形，且AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 首先根據(jù)AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，求出DE的長(zhǎng)是多少；再根據(jù)△DBE為等腰直角三角形，求出BD的長(zhǎng)是多少；然后在△ABD中，根據(jù)余弦定理，求出AB的長(zhǎng)是多少；最后根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，求出AC的長(zhǎng)是多少即可．

解答 解：∵AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2+2$\sqrt{3}$，
∵△DBE為等腰直角三角形，
∴BD=（2+2$\sqrt{3}$）÷$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，∠ADB=45°，
在△ABD中，根據(jù)余弦定理，可得
AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos45°
=2²${+（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}^{2}$$-2×2×（\sqrt{2}+\sqrt{6}）$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=4+8+$4\sqrt{3}$-4-4$\sqrt{3}$
=8
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4，
即AC的長(zhǎng)是4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、斜邊上的高，三線(xiàn)合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑．