Question

12．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①4ac＜b²；
②方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根是x₁=-2，x₂=3；
③3a+c=0；
④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是-1＜x＜3；
⑤當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大；
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由對(duì)稱軸方程得到b=-2a，然后根據(jù)x=-1時(shí)函數(shù)值為0可得到3a+c=0，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，故①正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
而點(diǎn)（-1，0）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根是x₁=-1，x₂=3，故②錯(cuò)誤；

∵x=-$\frac{2a}$=1，即b=-2a，
而x=-1時(shí)，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，故③正確；

∵拋物線與x軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），
∴當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y＞0，故④正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而增大，故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤，共4個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．