Question

17．觀察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=1$\frac{1}{2}$；$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=1$\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1$\frac{1}{12}$，…
請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題
①猜想：$\sqrt{1+\frac{1}{{7}^{2}}+\frac{1}{{8}^{2}}}$=1+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$=1$\frac{1}{56}$；
②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{{n}^{2}+n}$；
③應(yīng)用：計算$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$．

Answer 1

分析 ①直接利用利用已知條件才想得出答案；
②直接利用已知條件規(guī)律用n（n為正整數(shù)）表示的等式即可；
③利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將原式變形得出答案．

解答 解：①猜想：$\sqrt{1+\frac{1}{{7}^{2}}+\frac{1}{{8}^{2}}}$=1+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$=1$\frac{1}{56}$；
故答案為：1+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$，1$\frac{1}{56}$；

②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：
$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{{n}^{2}+n}$；

③應(yīng)用：$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{{9}^{2}}+\frac{1}{1{0}^{2}}}$
=1+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1$\frac{1}{90}$．

點評 此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．