Question

2．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O切AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求證：DF=2CE；
（2）若BC=3，sinB=$\frac{4}{5}$，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE交DF于G，首先證明四邊形EGFC是矩形，再根據(jù)垂徑定理即可證明．
（2）設(shè)OE=x，由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，得$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，列出方程求出x，再在Rt△BDF中，由sinB=$\frac{4}{5}$，推出cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{BD}$，即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OE交DF于G，
∵AC切⊙O于E，
∴∠CEO=90°．
又∵BD為⊙O的直徑，
∴∠DFC=∠DFB=90°．
∵∠C=90°，
∴四邊形CEGF為矩形．
∴CE=GF，∠EGF=90°，
∴DF=2CE．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，$sinB=\frac{4}{5}$，
∴AB=5，
設(shè)OE=x，∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC．
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{x}{3}=\frac{5-x}{5}$，
∴$x=\frac{15}{8}$，
∴BD=$\frac{15}{4}$．
在Rt△BDF中，∵∠DFB=90°，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BF}{\frac{15}{4}}$，
∴BF=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．