Question

1．在等腰△ABC中，CA=CB，點D，E在射線AB上，不與A，B重合（D在E的左邊），且∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
（1）如圖1，若∠ACB=90°，將△CAD沿CD翻折，點A與M重合，求證：△MCE≌△BCE；
（2）如圖2，若∠ACB=120°，且以AD、DE、EB為邊的三角形是直角三角形，求$\frac{AD}{EB}$的值；
（3）∠ACB=120°，點D在射線AB上運動，AC=3，則AD的取值范圍為0＜AD＜2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由對折得到∠A=∠CMD=45°=∠B，∠ACD=∠MCD，CM=AC=BC，再判斷出BC=CM，即可；
（2）先求出∠DME=∠A+∠B=60°，再分兩種情況利用銳角三角函數(shù)即可；
（3）先判斷出AD最長時的位置，然后用銳角三角函數(shù)計算即可．

解答 證明：（1）∵△CMD是△CAD對折所得，
∴∠A=∠CMD=45°=∠B，∠ACD=∠MCD，CM=AC=BC
∵∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠MCD+∠MCE=45°，
∴∠ACD+∠MCE=45°
∵∠ACD+∠BCE=45°，
∴∠MCE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴BC=CM，
在△MCE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠BCE}\\{CM=CB}\\{∠CME=∠B}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△BCE，
（2）如圖，

∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
同（1）方法可證，△CME≌△CBE，
∴∠CME=∠B，
∴∠DME=∠A+∠B=60°，
∵AD、DE、EB為邊的三角形是直角三角形，
∴△DME是直角三角形，
∴∠MDE=90°，或∠DEM=90°，
①當∠MDE=90°時，∠DEM=30°，
∴sin∠DEM=$\frac{DM}{ME}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{EB}=\frac{1}{2}$，
②當∠DEM=90°時，∠MDE=30°，
∴sin∠MDE=$\frac{EM}{DM}$，
∴$\frac{EM}{DM}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BE}$=2，
即：$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$或2；
（3）∵D在E的左邊，
∴AD最大只能靠近AB邊上的高，
∵∠ACB=120°，AC=3，
∴AB邊上的高為2$\sqrt{3}$，
∴0＜AD＜2$\sqrt{3}$．
故答案為0＜AD＜2$\sqrt{3}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了對折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是判斷△CME≌△CBE．