Question

9．閱讀理解
材料一：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線．梯形的中位線具有以下性質(zhì)：
梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
如圖（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中點(diǎn)
∴EF∥AD∥BC
EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）
材料二：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊
如圖（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥BC
∴F是AC的中點(diǎn)
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解答下列問題．
如圖（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∠DBC=30°
（1）求證：EF=AC；
（2）若OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，即可證明；
（2）直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得出OA=3，利用平行線得出ON=$\frac{1}{2}$MN，再根據(jù)AN=$\frac{1}{2}$AC=4，得出ON=4-3=1，進(jìn)而得出MN的值．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AC=OA+OC=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∵EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AC=EF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，
∵OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，
∴OA=3，
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$MN，
∵AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（OA+OC）=4，
∴ON=AN-OA=4-3=1，
∴MN=2ON=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)和直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半進(jìn)行分析．