Question

1．我們給出如下定義：兩個(gè)圖形G₁和G₂，在G₁上的任意一點(diǎn)P引出兩條垂直的射線與G₂相交于點(diǎn)M、N，如果PM=PN，我們就稱M、N為點(diǎn)P的垂等點(diǎn)，PM、PN為點(diǎn)P的垂等線段，點(diǎn)P為垂等射點(diǎn)．
（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，0）為x軸上的垂等射點(diǎn)，過A（0，3）作x軸的平行線l，則直線l上的B（-2，3），C（-1，3），D（3，3），E（4，3）為點(diǎn)P的垂等點(diǎn)的是B（-2，3），E（4，3）；
（2）如果一次函數(shù)圖象過M（0，3），點(diǎn)M為垂等射點(diǎn)P（1，0）的一個(gè)垂等點(diǎn)且另一個(gè)垂等點(diǎn)N也在此一次函數(shù)圖象上，在圖2中畫出示意圖并寫出一次函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖3，以點(diǎn)O為圓心，1為半徑作⊙O，垂等射點(diǎn)P在⊙O上，垂等點(diǎn)在經(jīng)過（3，0），（0，3）的直線上，如果關(guān)于點(diǎn)P的垂等線段始終存在，求垂等線段PM長(zhǎng)的取值范圍（畫出圖形直接寫出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）如圖1，分別過B，E作BGx軸⊥于G，EH⊥x軸于H，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①如圖2，當(dāng)垂等點(diǎn)N直線PM右側(cè)時(shí)，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OMP=∠NPF．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PF=OM，OP=FN．求得OF=4，F(xiàn)N=1．得到N（4，1）．于是得到結(jié)論；②如圖3，當(dāng)垂等點(diǎn)N直線PM左側(cè)時(shí)，同理得到結(jié)論；
（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在第一和第三象限的角平分線上且PM∥OA時(shí)，PM取得最小或最大值，延長(zhǎng)MP交OB于C，連接OP，根據(jù)已知條件得到直線AB的解析式為y=-x+3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OC=PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，分別過B，E作BGx軸⊥于G，EH⊥x軸于H，

∴BG=EH=3，PG=PH=3，
∴PB=PE=3$\sqrt{2}$，∠BPG=∠EPH=45°，
∴∠BPE=90°，B（-2，3），E（4，3）為點(diǎn)P的垂等點(diǎn)，
故答案為：B（-2，3），E（4，3）；
（2）①如圖2，當(dāng)垂等點(diǎn)N直線PM右側(cè)時(shí)，

依題意，可知∠MOP=∠MPN=∠NFP=90°，PM=PN，
∵∠OPM+∠OMP=∠OPM+∠NPF=90°，
∴∠OMP=∠NPF．
在△MOP與△PFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOP=∠NFP}\\{∠OMP=∠FPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△MOP≌△PFN．
∴PF=OM，OP=FN．
∵P（1，0），
∴OF=4，F(xiàn)N=1．
∵點(diǎn)N在第一象限，
∴N（4，1）．
∴過點(diǎn)M、N的一次函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
②如圖3，當(dāng)垂等點(diǎn)N直線PM左側(cè)時(shí)，

依題意同理可得N（-2，-1）
∴過點(diǎn)M、N的一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x+3；
（3）如圖4，


當(dāng)點(diǎn)P在第一和第三象限的角平分線上且PM∥OA時(shí)，PM取得最小或最大值，
延長(zhǎng)MP交OB于C，連接OP，
∵B（3，0），A（0，3），
∴直線AB的解析式為y=-x+3，
∵OP=1，
∴OC=PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴N的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴橫坐標(biāo)為3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PM=PN=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3-$\sqrt{2}$，同理P′M′=P′M′=3$+\sqrt{2}$，
∴PM長(zhǎng)的取值范圍：3-$\sqrt{2}$≤PM≤3+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．