Question

3．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AD于點(diǎn)F，則PE+PF=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出∠ABG=30°，得出PE=$\frac{1}{2}$PB，AG=$\frac{1}{2}$AB=2，同理得出PF=$\frac{1}{2}$PD，求出PE+PF=$\frac{1}{2}$BD，再根據(jù)勾股定理求出BG，即可得出結(jié)果．

解答 解：作AG⊥BD于G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=AD，∠ABC=60°，∠ABG=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB，AG=$\frac{1}{2}$AB=2，
同理：PF=$\frac{1}{2}$PD，
∴PE+PF=$\frac{1}{2}$（PB+PD）=$\frac{1}{2}$BD，
∵AG⊥BD，
∴BG=DG=$\frac{1}{2}$BD，
∵BG=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$，
∴PE+PF=2$\sqrt{3}$；
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．