Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長為2a，以BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，H是該半圓上一點，過點H作半圓的切線交AB、CD于E、F．
（1）當(dāng)點H在半圓上移動時，切線EF在AB、CD上的兩個交點E、F也分別在AB、CD上移動（E與A不重合，F(xiàn)與D不重合），請問四邊形AEFD的周長是否發(fā)生變化？請說明理由；
（2）若∠BEF=120°，請求圖中用a表示的陰影部分的面積為s．（友情提示：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長定理證明周長為定值；
（2）連接OH，根據(jù)切線長定理得出∠BEO=∠OEF=60°，∠CFO=∠EFO=30°，得出BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CF=$\sqrt{3}$a，OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，OF=2a，∠EOF=90°，然后根據(jù)S_陰影=S-S_扇形=$\frac{1}{2}$×OE×OF-$\frac{90π×{a}^{2}}{360}$即可求得．

解答 解：（1）∵BE、EH切半圓O于B、H，
∴BE=EH，
同理，CF=FH，
∴四邊形AEFD的周長=AD+AE+EF+FD=AD+（AE+BE）+（DF+CF）=AD+AB+DC=2a+2a+2a=6a，
∴四邊形AEFD的周長始終是6a，沒有發(fā)生變化．
（2）連接OH，
∵EF切半圓O于H，
∴OH⊥EF，BO=CO=OH=a，
∵∠BEF=120°，AB∥CD，
∴∠EFC=60°
∴∠BEO=∠OEF=60°，∠CFO=∠EFO=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CF=$\sqrt{3}$a，OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，OF=2a，
∵∠OEF=60°，∠EFO=30°，
∴∠EOF=90°，
∴在RT△EOF中，S=$\frac{1}{2}$×OE×OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²，
∴S_陰影=S-S_扇形=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{90π×{a}^{2}}{360}$=$\frac{8\sqrt{3}-3π}{12}$a²．

點評 此題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、直角三角形的判定、直角三角形的面積、扇形的面積等知識點，綜合性較強，難度偏上．