Question

16．如圖，已知△ABC，D是BC上的點(diǎn)，連接AD
（1）若AD為角平分線，求證：S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）若S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，求證：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DM=DN，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）利用面積的關(guān)系證明DE=DF，問(wèn)題即可解決．

解答 解：（1）如圖，過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴DM=DN，
∴S_△ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$AB×DN）：（$\frac{1}{2}$AC×DM）=AB：AC；

（2）如圖，過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AC•DM}{\frac{1}{2}AB•DN}$，而S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC•DM}{\frac{1}{2}AB•DN}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{DM}{DN}$=1，即DM=DN，
∴AD是△ABC的角平分線．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．