Question

5．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，弦AB⊥OP，垂足為M，AB=4，OM=1，則PA的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先根據(jù)垂徑定理得AM=$\frac{1}{2}$AB=2，則利用勾股定理可計(jì)算出OA=$\sqrt{5}$，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，即∠PAM+∠OAM=90°，利用等角的余角相等得∠P=∠OAM，于是可判斷Rt△PAM∽R(shí)t△AOM，然后利用相似比可計(jì)算出PA的長(zhǎng)．

解答 解：∵AB⊥OP，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△AOM中，OA=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，即∠PAM+∠OAM=90°，
而∠PAM+∠P=90°，
∴∠P=∠OAM，
∴Rt△PAM∽R(shí)t△AOM，
∴$\frac{PA}{OA}$=$\frac{AM}{OM}$，即$\frac{PA}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PA=2$\sqrt{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．