Question

18．已知點A（1，2）、點 B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，過B作BC⊥x軸于點C，如圖，P是y軸上一點，
（1）求k的值及△PBC的面積；
（2）設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的任意兩點，s=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，t=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$，試判斷s與t的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得k的值；設(shè)B的坐標(biāo)是（m，n）則mn=2，BC=n，OC=m，利用三角形的面積公式求解；
（2）把y₁和y₂用x₁和x₂表示出來，然后求s-t的值，對式子進行變形判斷s-t的符號即可．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2； 
設(shè)B的坐標(biāo)是（m，n）則mn=2，BC=n，OC=m．
則S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•OC=$\frac{1}{2}$mn=1；
（2）s＞t； 
理由：∵s-t═$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}•{x_2}}}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$
═$\frac{{\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$═$\frac{{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•x}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}$=$\frac{{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴${（{{x_1}-{x_2}}）^2}$＞0，x₁•x₂•（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}＞0$；
∴s＞t．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及比較分式的值的大小，常用的方法一般是轉(zhuǎn)化為求差，判斷差的符號解決．