Question

9．已知拋物線y=ax²+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；②關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0無實(shí)數(shù)根；③a-b+c≥0；  ④$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值為3．其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 利用拋物線的對稱軸方程x=-$\frac{2a}$＜0可對①進(jìn)行判斷；拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)且拋物線開口向上，則y≥0，則可對②③進(jìn)行判斷；當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c≥0，變形得到 a+b+c≥3（b-a），則利用b＞a＞0得到$\frac{a+b+c}{b-a}$≥3，則可對D進(jìn)行判斷．

解答 解：∵b＞a＞0，
∴拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，
而拋物線開口向上，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=-2無實(shí)數(shù)根，所以②正確；
∵a＞0及拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，
∴x取任何值時(shí)，y≥0，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c≥0；所以③正確；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c≥0，
∴a+b+c≥3b-3a，
即a+b+c≥3（b-a），
而b＞a＞0，
∴$\frac{a+b+c}{b-a}$≥3，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．