Question

3．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠CAB=30°，AC=8，半徑為2的⊙O從點A開始（如圖1）沿直線AB向右滾動，滾動時始終與直線AB相切（切點為D），當(dāng)⊙O與△ABC只有一個公共點時滾動停止，作OG⊥AC于點G．
（1）圖1中，⊙O在AC邊上截得的弦長AE=2；
（2）當(dāng)圓心落在AC上時，如圖2，判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）在⊙O滾動過程中，線段OG的長度隨之變化，設(shè)AD=x，OG=y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出∠OAC=60°，進而得出△OAE是等邊三角形即可；
（2）先求出OC=4，再求出∠C=30°，進而求出OH=2=OD即可；
（3）分兩種情況，點O在AC左側(cè)和右側(cè)，先利用銳角三角函數(shù)表示出FD進而得出OF，最后用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵⊙O與直線AB相切于點D，
∴∠ODB=90°，
當(dāng)點D與點A重合時，
連接OA，OE，
∴OA=OE，
∵∠BAC=30°，
∴∠OAC=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴AE=OA=2，
故答案為2；

（2）BC與⊙O相切，
理由：如圖2，過點O作OH⊥BC于H，連接OD，
∵⊙O與AB相切于D，
∴OD⊥AB，
在Rt△AOD中，∠A=30°，
∴OA=2OD=4，
∵AC=8，
∴OC=4，
在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠BAC=30°，
在Rt△OHC中，∠C=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OC=2=OD，
∴BC與⊙O相切，

（3）①當(dāng)點O在AC的左側(cè)時，
連接OD交AC于F，如備用圖1，
∵⊙O與AB相切于D，
∴OD⊥AB，
∵OG⊥AC，
∴∠FOG=∠BAC=30°，
在Rt△FDA中，tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$，
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OF=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△FOG中，y=OG=OF•cos∠FOG=（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{3}$，
x的取值范圍為0≤x≤2$\sqrt{3}$；
②當(dāng)點O在AC的右側(cè)時，
連接DO并延長交AC于F，如備用圖2，
同①的方法得，F(xiàn)D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∵FD⊥AB，
∴∠BAC+∠AFD=90°，
∴∠FOG=∠BAC=30°，
在Rt△FOG中，y=OG=OF•cos∠FOG=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{3}$，
x的取值范圍為2$\sqrt{3}$≤x≤$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是得出∠OAC=60°，解（2）的關(guān)鍵是求出OH=2，解（3）的關(guān)鍵是分兩種情況求出OF，解本題的重點是作出輔助線，是一道中等難度的題目．