Question

7．已知A（a，0），B（0，b），a、b滿足$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0，將點A繞點B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，恰好落在點C．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）坐標(biāo)軸上是否存在點M，使得∠BMC=45°，并求出M點的坐標(biāo)；
（3）延長BC交x于點E，P、Q分別為x、y軸上動點，求CQ²+BQ•OQ和CP²+OP•EP的值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0可知a=-2，b=4，即可得出A（-2，0），B（0，4），根據(jù)勾股定理求得AB=2$\sqrt{5}$，根據(jù)△AOB∽△BOE，對應(yīng)邊成比例得出OE=8，BE=4$\sqrt{5}$，證得C是BE的中點，從而得出C的坐標(biāo)．
（2）由∠ABC=90°，AB=CB，得出∠BAC=45°，所以當(dāng)M和A重合時，∠BMC=45°，此時M的坐標(biāo)為（-2，0），作△ABC的外接圓，交x軸于M₁，交y軸于M₂，根據(jù)圓周角定理得出∠AM₁C=90°，然后根據(jù)C的坐標(biāo)即可求得M₁的坐標(biāo)，根據(jù)相交弦定理就可求得M₂的坐標(biāo)；
（3）作CK⊥y軸，CJ⊥x軸，設(shè)BQ=x，則QK=2-x，OQ=4-x，根據(jù)勾股定理求得CQ²=CK²+QK²=4²+（2-x）²，則CQ²+BQ•OQ=4²+（2-x）²+x（4-x）=16+4=20；同理可證CP²+OP•EP=20．

解答 解：（1）由$\sqrt{a+2}$+b²-8b+16=0可知a=-2，b=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABE=90°，
∴△AOB∽△BOE，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{BE}{AB}$=2，
∴OE=8，BE=4$\sqrt{5}$，
∵BC=AB=2$\sqrt{5}$，
∴C是BE的中點，
∴C（4，2）．
（2）∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=45°，
當(dāng)M和A重合時，∠BMC=45°，
此時M的坐標(biāo)為（-2，0），
作△ABC的外接圓，交x軸于M₁，交y軸于M₂，則∠BM₁C=45°，∠BM₂C=45°，如圖（2）
∵∠ABC=90°，
∴AC是直徑，
∴∠AM₁C=90°，
∵C（4，2）．
∴M₁（4，0），
根據(jù)相交弦定理OA•OM₁=OB•OM₂，
∵OA=2，OB=4，OM₁=4，
∴OM₂=2，
∴M₂（0，-2）．
∴坐標(biāo)軸上存在點M，使得∠BMC=45°，M點的坐標(biāo)為（-2，0）或（0，-2）或（4，0）．
（3）如圖（3），作CK⊥y軸，CJ⊥x軸，
∵B（0，4），C（4，2），
∴CK=4，OK=2，BK=2，
設(shè)BQ=x，則QK=2-x，OQ=4-x
在RT△CQK中，CQ²=CK²+QK²=4²+（2-x）²，
∴CQ²+BQ•OQ=4²+（2-x）²+x（4-x）=16+4=20；
同理：CP²+OP•EP=20．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，圓周角定理，勾股定理，相交弦定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．