Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角邊OA₁在y軸的正半軸上，且OA₁=A₁A₂=1，以O(shè)A₂為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA₂A₃，以O(shè)A₃為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形OA₃A₄，…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA₂₀₁₇A₂₀₁₈，則點(diǎn)A₂₀₁₇的坐標(biāo)為（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）或（0，2¹⁰⁰⁸）．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OA₁=1，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，再利用A₁、A₂、A₃、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到y(tǒng)軸的正半軸的特點(diǎn)可得到點(diǎn)A₂₀₁₇在y軸的正半軸上，即可確定點(diǎn)A₂₀₁₇的坐標(biāo)．

解答 解：∵等腰直角三角形OA₁A₂的直角邊OA₁在y軸的正半軸上，且OA₁=A₁A₂=1，以O(shè)A₂為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA₂A₃，以O(shè)A₃為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形OA₃A₄，…，
∴OA₁=1，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∵A₁、A₂、A₃、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到y(tǒng)軸的正半軸，
2017÷8=252…1，
∴點(diǎn)A₂₀₁₇在第一象限，
∵OA₂₀₁₇=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∴點(diǎn)A₂₀₁₇的坐標(biāo)為（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）即（0，2¹⁰⁰⁸）．
故答案為（0，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶）或（0，2¹⁰⁰⁸）．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)：等腰直角三角形的兩底角都等于45°；斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍．也考查了直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征．