Question

3．如圖，在半徑為1的⊙O中，AB是弦，OM是弦心距，求OM+AB的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)AM=x，根據(jù)垂徑定理得到AB=2x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，利用一元二次方程根的判別式解答即可．

解答 解：設(shè)AM=x，
∵OM是弦心距，
∴AB=2x，
在Rt△AOM中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
設(shè)OM+AB=a，即$\sqrt{1-{x}^{2}}$+2x=a，
$\sqrt{1-{x}^{2}}$=a-2x，
1-x²=a²-4ax+4x²，
5x²-4ax+（a²-1）=0，
△=（-4a）²-4×5×（a²-1）≥0，即a²≤5，
解得，-$\sqrt{5}$≤a≤$\sqrt{5}$，
則a的最大值為$\sqrt{5}$，即OM+AB的最大值為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．