Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，已知AB=c，BC=a，AC=b，⊙O的半徑為R．
（1）求證：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R；
（2）若a=5，∠A=60°，求⊙O的半徑R．

Answer 1

分析 （1）連接CO并延長交⊙O于D，連接BD，因為∠D=∠A，∠DBC=90°，CD=2R，BC=a，在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{2R}$，所以sinA=$\frac{BC}{2R}$=$\frac{a}{2R}$，可得$\frac{a}{sinA}$=2R，同理可證，$\frac{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，由此即可證明．
（2））把a(bǔ)=5，A=60°，代入$\frac{a}{sinA}$=2R，計算即可．

解答 （1）證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接BD，
∴∠D=∠A，∠DBC=90°，CD=2R，BC=a，
在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{2R}$，
∴sinA=$\frac{BC}{2R}$=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=2R，同理可證，$\frac{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．

（2）∵$\frac{a}{sinA}$=2R，
∴$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，
∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理，直徑的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．