Question

12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE并將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連結(jié)DF，以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE，GE與AD、AC分別交于點(diǎn)H、M，GF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．
（1）證明：點(diǎn)A、D、F在同一條直線上；
（2）隨著點(diǎn)E的移動(dòng)，線段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連結(jié)EF、MN，當(dāng)MN∥EF時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可證明．
（2）有最小值．設(shè)AE=x，DH=y，則AH=1-y，BE=1-x，由△ECB∽△HEA，推出$\frac{BC}{AE}$=$\frac{BE}{AH}$，可得$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{1-y}$，推出y=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由a=1＞0，y有最小值，最小值為$\frac{3}{4}$．
（3）只要證明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一點(diǎn)G，使得GC=GE，則△BGE是等腰直角三角形，設(shè)BE=BG=a，則GC=GE=$\sqrt{2}$a，可得a+$\sqrt{2}$a=1，求出a即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠DCB，
∴∠DCF=∠BCE，
∴△DCF≌△BCE，
∴∠CDF=∠B=90°，
∴∠CDF+∠CDA=180°，
∴點(diǎn)A、D、F在同一條直線上．

（2）解：有最小值．
理由：設(shè)AE=x，DH=y，則AH=1-y，BE=1-x，
∵四邊形CFGE是矩形，
∴∠CEG=90°，
∴∠CEB+∠AEH=90°
CEB+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠AEH，
∵∠B=∠EAH=90°，
∴△ECB∽△HEA，
∴$\frac{BC}{AE}$=$\frac{BE}{AH}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{1-y}$，
∴y=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵a=1＞0，
∴y有最小值，最小值為$\frac{3}{4}$．
∴DH的最小值為$\frac{3}{4}$．

（3）解：∵四邊形CFGE是矩形，CF=CE，
∴四邊形CFGE是正方形，
∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，
∵NM∥EF，
∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，
∴∠GMN=∠GNM，
∴GN=GM，
∴FN=EM，
∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，
∴△CFN≌△CEM，
∴∠FCN=∠ECM，∵∠MCN=45°，
∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，
在BC上取一點(diǎn)G，使得GC=GE，則△BGE是等腰直角三角形，設(shè)BE=BG=a，則GC=GE=$\sqrt{2}$a，
∴a+$\sqrt{2}$a=1，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=AB-BE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．