Question

13．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y₁=ax²-4ax-4的頂點在x軸上，直線l：y₂=-x+5與x軸交于點A．
（1）求拋物線C₁：y₁=ax²-4ax-4的表達式及其頂點坐標；
（2）點B是線段OA上的一個動點，且點B的坐標為（t，0）．過點B作直線BD⊥x軸交直線l于點D，交拋物線C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 于點E．設點D的縱坐標為m，設點E的縱坐標為n，求證：m≥n；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 與線段BD有公共點，結合函數(shù)的圖象，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式確定出對稱軸，頂點坐標，最后求出拋物線C₁，
（2）先表示出點E坐標，求出m-n，從而判斷出m≥n；
（3）由拋物線C₂與線段BD有公共點，點D要么與點E重合，要么在點E的上方，得到n≥0，從而確定出時間范圍．

解答 解：（1）∵拋物線C1：y₁=ax²-4ax-4，
∴對稱軸為x=2，
∵頂點在x軸上，
∴頂點為（2，0），
∴當x=2時，y=-4a-4=0，
∴a=-1，
∴拋物線C₁：y₁=-x²+4x-4，
（2）∵點B的坐標為（t，0），且BD⊥x軸交直線l于點D，
∴D（t，-t+5）
∵直線BD交拋物線C₂于E，
∴E（t，-t²+5t-4），
∵m-n=-t-5-t²+5t-4）=（t-3）²≥0，
∴m≥n，
（3）∵拋物線C₂與線段BD有公共點，
∴E應在線段BD上，
由（2）知，點D要么與點E重合，要么在點E的上方，
∴n≥0，
∴-t²+5t-4≥0，
當-t²+5t-4=0時，
∴t=1或t=4，
∴1≤t≤4．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質，拋物線和直線的交點坐標，解本題的關鍵是m與n的大小的比較．