Question

12．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD的面積；
（3）若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，滿足S_△PCD=$\frac{1}{2}$S_△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-1）²+4，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解方程得出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，再用三角形面積公式即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)面積關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-1）²+4，
把點(diǎn)B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4；
令y=0，則0=-（x-1）²+4，
∴x=-1或x=3，
∴C（-1，0），D（3，0）；
∴CD=4，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_B|=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）由（2）知，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_B|=$\frac{1}{2}$×4×3=6；CD=4，
∵S_△PCD=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$CD×|y_P|=$\frac{1}{2}$×4×|y_P|=3，
∴|y_P|=$\frac{3}{2}$，
∵點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，
∴y_P＞0，
∴y_P=$\frac{3}{2}$，
∵拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4；
∴$\frac{3}{2}$=-（x-1）²+4，
∴x=1±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴P（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），或P（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，是一道比較簡單的中考常考題．