Question

2．已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A（-1，0）、B（5，0），交y軸于點C（0，5），點D是該拋物線上一點，且點D的橫坐標為4，連BD，點P是線段AB上一動點（不與點A重合），過P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，以PQ為一邊在PQ的右側(cè)作正方形PQMN．設(shè)點P的坐標為（t，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點Q在線段AD上時，延長PQ與拋物線交于點G，求t為何值時，線段QG最長．
（3）在AB上是否存在點P，使△OCM為等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的邊長；若不存在，請說明理由；
（4）設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分面積為s，求s與t 的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由于已知點A、點D坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線解析式可求D（4，5）．由于已知A（-1，0），D（4，5），根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AD的解析式為：y=x+1，設(shè)P（t，0），可得Q（t，t+1），G（t，-t²+4t+5），根據(jù)兩點間的坐標公式可得QG，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可求解；
（3）假設(shè)存在點P，使△OCM為等腰三角形，根據(jù)勾股定理，若能求出P點坐標，則P存在，同時可求出正方形PQMN 的邊長；否則P不存在；
（4）由于重疊部分面積是不確定的，所以要根據(jù)其重疊程度，分情況討論，得到不同的表達式．

解答 解：（1）如圖，C點坐標為（0，5），則c=5．
代入點A（-1，0），B（5，0）到y(tǒng)=ax²+bx+5中，得方程組$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=4．
故拋物線解析式為y=-x²+4x+5．
（2）當(dāng)x=4時，y=-4²+4×4+5=5，則D（4，5）．
由A（-1，0），D（4，5）得直線AD的解析式為：y=x+1，
設(shè)P（t，0），則Q（t，t+1），G（t，-t²+4t+5），
∵點Q在線段AD上．
∴QG=-t²+3t+4=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，QG最長為$\frac{25}{4}$．
（3）∵直線AD的解析式為：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
當(dāng)MC=MO時，t+1=$\frac{5}{2}$，
∴邊長為$\frac{5}{2}$．
當(dāng)OC=OM時，（2t+1）²+（t+1）²=5²，
解得t₁=-$\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{115}}{5}$（舍去），t₂=-$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$，
∴邊長為t+1=$\frac{2}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$．
當(dāng)CO=CM時，（2t+1）²+（4-t）²=5²，
解得t₁=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，t₂=$\frac{2-2\sqrt{11}}{5}$．
∴邊長為t+1=$\frac{7+2\sqrt{11}}{5}$，或t+1=$\frac{7-2\sqrt{11}}{5}$．
（4）當(dāng)-1＜t≤$\frac{19}{11}$時，正方形的邊長為（t+1），故其面積為：s=（t+1）²；
當(dāng)$\frac{19}{11}$≤t≤2時：S=-$\frac{111}{10}$t²+$\frac{219}{5}$t-$\frac{351}{5}$；
當(dāng)2≤t≤4時：S=-$\frac{11}{10}$t²+$\frac{19}{5}$t+$\frac{49}{10}$；
當(dāng)4≤t≤5時：S=$\frac{5}{2}$t²-25t+$\frac{125}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形及正方形的性質(zhì)、存在性問題等內(nèi)容，綜合性強，屬于難題．