Question

18．已知：如圖1，我們?cè)?016年7月的日歷中標(biāo)出一個(gè)十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱(chēng)為該十字星的“十字差”）．該十字星的十字差為12×14-6×20=48，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．
（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長(zhǎng)方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個(gè)定值，則這個(gè)定值為24．
（2）若將正整數(shù)依次填入6列的長(zhǎng)方形數(shù)表中，不同位置十字星的“十字差”是一個(gè)定值嗎？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若將正整數(shù)依次填入k列的長(zhǎng)方形數(shù)表中（k≥3），繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)k有關(guān)的定值，請(qǐng)用k表示出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出相應(yīng)的“十字差”，即可確定出所求定值；
（2）定值為35，理由為：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x-1，x+1，上下兩數(shù)分別為x-6，x+6，進(jìn)而表示出十字差，化簡(jiǎn)即可得證；
（3）定值為k²-1=（k+1）（k-1），理由為：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進(jìn)而表示出十字差，化簡(jiǎn)即可得證．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：6×8-2×12=48-24=24；
（2）是，這個(gè)定值是35； 
設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x-1，x+1，
上下兩數(shù)分別為x-6，x+6，
十字差為（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）=x²-1-x²+36=35
（3）定值為k²-1=（k+1）（k-1）；
證明：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x-1，x+1，上下兩數(shù)分別為x-k，x+k（k≥3），
十字差為（x-1）（x+1）-（x-k）（x+k）=x²-1-x²+k²=k²-1，
故這個(gè)定值為k²-1=（k+1）（k-1）；
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．