Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)在y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是B（0，5），與x軸交于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是圖象與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，y）
（1）若四邊形ABPC的面積為S，求S關(guān)于y的函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍；
（2）若∠PCO=30°時(shí)，求四邊形ABPC的面積．

Answer 1

分析 （1）由B的坐標(biāo)及一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是圖象與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，確定出A的坐標(biāo)，得到OA與OB的長(zhǎng)，再由C與P的坐標(biāo)確定出OP與OC的長(zhǎng)，四邊形ABPC面積等于三角形AOB面積減去三角形POC面積，列出S關(guān)于y的函數(shù)解析式，并求出y的范圍即可；
（2）根據(jù)∠PCO的度數(shù)，以及OC的長(zhǎng)，求出OP的長(zhǎng)，確定出y的值，代入（2）中計(jì)算即可求出S的值．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)在y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是B（0，5），與x軸交于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是圖象與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，
∴A（10，0），即OA=10，OB=5，
∵C（6，0），P（0，y），
∴OP=y，OC=6，
∴S=S_{四邊形ABPC}=$\frac{1}{2}$OA•OB-$\frac{1}{2}$OP•OC=$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×y×6=25-3y（0＜y＜5）；
（2）∵∠PCO=30°，OC=6，
∴tan30°=$\frac{OP}{OC}$，即OP=OCtan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
則S=S_{四邊形ABPC}=25-6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形面積公式，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．