Question

9．如果把一個奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一個“階梯數(shù)”，又如262，85258，…，都是“階梯數(shù)”，若一個“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
（1）已知一個三位“階梯數(shù)”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數(shù)，求這個三位數(shù)；
（2）已知一個五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t=$\overline{a（a+k）a}$，可得M=a+a=2a，N=a+k，根據(jù)P（t）=12，得到關(guān)于k的方程，可求k=6，再根據(jù)Q（t）=3a+6為一個完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1，從而得到這個三位數(shù)；
（2）設(shè)某五位階梯數(shù)為$\overline{a（a+k）（a+2k）（a+k）a}$，根據(jù)$\frac{t}{4}$=$\frac{11111a+1210k}{4}$=2778a+302k+$\frac{2k-a}{4}$，
可得2k-a是4的倍數(shù)，根據(jù)M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，則$\frac{5a+4k-2}{4}$=k+a+$\frac{a-2}{4}$，可得a-2是4的倍數(shù)，根據(jù)完全平方數(shù)的定義得到a=2，6，再分兩種情況求得t的值，進(jìn)一步得到該五位“階梯數(shù)”t的最大值和最小值．

解答 解：（1）設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t=$\overline{a（a+k）a}$，
∴M=a+a=2a，N=a+k，
∴P（t）=2N-M=2（a+k）-2a=2k=12，
∴k=6，
∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6為一個完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，
∴9≤3a+6≤33，
∴3a+6=9，16，25，
∴a=1，
∴t=171；
（2）設(shè)某五位階梯數(shù)為$\overline{a（a+k）（a+2k）（a+k）a}$，
∵$\frac{t}{4}$=$\frac{11111a+1210k}{4}$=2778a+302k+$\frac{2k-a}{4}$，
∴2k-a是4的倍數(shù)，
∵M(jìn)=3a+2k，N=2A+2K，
∴Q（t）=M+N=5a+4k，
∴$\frac{5a+4k-2}{4}$=k+a+$\frac{a-2}{4}$，
∴a-2是4的倍數(shù)，
∵1≤a≤9，
∴-1≤a-2≤7，
∴a-2=0，4，
∴a=2，6
當(dāng)a=2時，$\frac{2k-2}{4}$為整數(shù)且0≤2+2k≤9，
∴-1≤k≤$\frac{7}{2}$，
∴k=±1，3，
所以t=21012，23432，25852；
當(dāng)a=6時，$\frac{2k-6}{4}$為整數(shù)且0≤6+2k≤9，
∴-3≤k≤$\frac{3}{2}$，
∴k=±1，-3，
所以t=63036，65456，67876．
所以該五位“階梯數(shù)”t的最大值是67876，最小值是21012．

點(diǎn)評 考查了完全平方數(shù)，解題的關(guān)鍵是弄清楚“階梯數(shù)”的定義，從而寫出符合題意的數(shù)．