Question

12．如圖，直線MN與x軸，y軸正半軸分別交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，直線y=x與直線MN交于點(diǎn)P，已知AC=10，OA=8．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作∠AOP的平分線OQ交直線MN與點(diǎn)Q，點(diǎn)E、F分別為射線OQ、OA上的動點(diǎn)，連結(jié)AE與EF，試探索AE+EF是否存在最小值？若存在，請直接寫出這個最小值；若不存在請說明理由；
（3）在直線MN上存在點(diǎn)G，使以點(diǎn)G，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出G點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由AC與OA的長，利用勾股定理求出OC的長，確定出C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，與y=x聯(lián)立求出交點(diǎn)P坐標(biāo)即可；
（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖1所示，作出A關(guān)于射線OQ的對稱點(diǎn)A′，可得OA′=OA=8，過A′作A′F⊥OA，交射線OQ于點(diǎn)E，角射線OA于點(diǎn)F，此時A′E+EF=AE+EF存在最小值，求出即可；
（3）在直線MN上存在點(diǎn)G，使以點(diǎn)G，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分三種情況考慮：①PC=PB，此時P為線段BC垂直平分線與直線MN的交點(diǎn)；②PC=BC=8；③PB=BC=8，分別求出P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵AC=10，OA=8，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（0，6）；
設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0），
∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵P為y=-$\frac{3}{4}$x+6與直線y=x的交點(diǎn)．
∴-$\frac{3}{4}$x+6=x，
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴p的坐標(biāo)為（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）；
（2）如圖1所示：

作出A關(guān)于射線OQ的對稱點(diǎn)A′，可得OA′=OA=8，過A′作A′F⊥OA，交射線OQ于點(diǎn)E，角射線OA于點(diǎn)F，
此時A′E+EF=AE+EF存在最小值，在Rt△A′OF中，∠A′OF=45°，
設(shè)A′F=OF=x，根據(jù)勾股定理得：x²+x²=8²，
解得：x=4$\sqrt{2}$，
則最小值為4$\sqrt{2}$；
（3）如圖2所示：

∵A（8，0），C（0，6），
∴根據(jù)題意得：B（（8，6），
∵P在直線MN：y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴設(shè)P（a，-$\frac{3}{4}$a+6），
在直線MN上存在點(diǎn)G，使以點(diǎn)G，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
分三種情況考慮：
①當(dāng)PC=PB時，P點(diǎn)為BC垂直平分線與MN交點(diǎn)，此時P₁（4，3）；
②當(dāng)PC=BC=8時，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：a²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得：a=±$\frac{32}{5}$，
此時P₂（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₃（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
③當(dāng)PB=BC=8時，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：（a-8）²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得：a=$\frac{256}{25}$，可得-$\frac{3}{4}$a+6=-$\frac{42}{25}$，此時P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$），
則符合條件的點(diǎn)P有：P₁（4，3），P₂（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₃（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$），P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$）．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．