Question

20．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓，交BC邊于點(diǎn)D，與AC邊相切于點(diǎn)E．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)可知OE⊥AC，從而可證明OE∥BC，由平行線的性質(zhì)可知∠OEB=∠EBC，由OE=OB可知∠OEB=∠OBE，于是得到∠OBE=∠EBC；
（2）過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，連接OD，OE．（2）如圖2所示：過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，連接OD，OE．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：DF=BF，由CD：BD=1：2可知CD=DF=FB，然后根據(jù)由三角是直角的四邊形為矩形可知四邊形OECF為矩形，于是得到CF=EO，從而可證明△ODB為等邊三角形，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故此可求得CD=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

解答 （1）證明：連接OE．

∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵AC與⊙O相切，
∴OE⊥AC，即∠OEA=90°．
∴∠C=∠OEA=90°，
∴OE∥BC．
∴∠OEB=∠EBC．
∴∠OBE=∠EBC．
∴BE平分∠ABC．
（2）如圖2所示：過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，連接OD，OE．

∵OD=OB，OF⊥BD，
∴DF=BF．
∵CD：BD=1：2，
∴CD=DF=FB．
∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴四邊形OECF為矩形．
∴CF=EO．
∴OE=BD=OD=OB．
∴△ODB為等邊三角形．
∴∠ABC=60°．
∵AC=4，
∴BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴CD=$\frac{1}{3}$×BC=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊銳角三角函數(shù)值，證得△ODB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．