Question

18．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 如圖延長EF交CD的延長線于H．作EN∥BC交CD于N，F(xiàn)K∥AB交BC于K．利用平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可解決問題．

解答 解：如圖延長EF交CD的延長線于H．作EN∥BC交CD于N，F(xiàn)K∥AB交BC于K．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CH，
∴∠A=∠FDH，
在△AFE和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDH}&{\;}\\{∠AFE=∠HFD}&{\;}\\{AF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFH（AAS），
∴EF=FH，
∵CE⊥AB，AB∥CH，
∴CE⊥CD，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH，故②正確，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB=$\frac{1}{2}$∠BCD；故①正確，
易證四邊形DFKC是菱形，∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥EK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，F(xiàn)K⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正確，
∵四邊形EBCN是平行四邊形，
∴S_△BEC=S_△ENC，
∵S_△EHC=2S_△EFC，S_△EHC＞S_△ENC，
∴S_△BEC＜2S_△CEF，故③錯誤，
故正確的有①②④．
故選：D．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．