Question

13．如圖，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF=BD，連結(jié)BF．
（1）求證：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中點(diǎn)；
（2）若AB=AC，求證：四邊形AFBD是矩形．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明三角形全等即可；
②由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；
（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．

解答 （1）證明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EDC（AAS）；

②∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
即D是BC的中點(diǎn)；

（2）證明：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AFBD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．