Question

12．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（-3，4），直線l與x軸相交于點B，與∠AOB的平分線相交于點C，直線l的解析式為y=kx-5k（k≠0），BC=OB．
（1）若點C在此拋物線上，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，過點A作y軸的平行線，與直線l相交于點D，設(shè)P為拋物線上的一個動點，連接PA、PD，當S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖，先求出B點坐標，則可得到OA=OB=5，再證明AO∥CB，加上OB=BC=5，則可判斷四邊形AOBC為平行四邊形，所以AC∥OB，AC=OB=5，于是得到C（2，4），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）如圖，先確定直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，再確定D點坐標，則可求出AD的長，設(shè)P（t，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t），利用三角形面積公式和S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB得到$\frac{1}{2}$•$\frac{20}{3}$•|t+3|=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$•5•4，然后解絕對值方程求出t的值，從而可確定點P的坐標．

解答 解：（1）如圖，A（-3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
當y=0時，kx-5k=0，解得x=5，則B（5，0），
∵BC=BO=5，
∴∠BOC=∠BCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠BCO，
∴AO∥CB，
而OA=BC=5，
∴四邊形AOBC為平行四邊形，
∴AC∥OB，AC=OB=5，
∴C（2，4），
把A（-3，4），C（2，4）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b=4}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x；
（2）如圖，把C（2，4）代入y=kx-5k得2k-5k=4，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
當x=-2時，y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，則D（-3，$\frac{32}{3}$），
∴AD=$\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$，
設(shè)P（t，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t），
∵S_△PAD=$\frac{2}{3}$S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{20}{3}$•|t+3|=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$•5•4，解得t=-1或t=-5，
∴點P的坐標為（-1，0）或（-5，$\frac{40}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是畫出幾何圖形和證明四邊形AOBC為菱形．