Question

12．如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，AC、BD相交于點O．
（1）AB的長為2；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G．
①求證：△ABE≌△ACF；
②判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用菱形對角線互相垂直且平分可得AO、OB，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）①由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，然后由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；
②由①可得AE=AF，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．

解答 解：（1）∵在菱形ABCD中，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC=1，BO=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2；
故答案為：2；

（2）①∵由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠EBA=∠FCA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），

②△AEF是等邊三角形，
理由是：∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是掌握菱形菱形對角線互相垂直且平分．