Question

2．已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如圖2，若CF=2，CE=5，四邊形ABCD的周長為28．求EF的長度．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和已知條件判定“同旁內(nèi)角互補”，則兩直線平行得到AD∥BC，于是得到結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠B=∠D，由于∠AEB=∠AFD=90°，得到△ABE∽△ADF，得到$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得到$\frac{AB+AD}{AD}$=$\frac{BE+DF}{DF}$，得到AD=2DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAF=30°，∠D=60°，求出∠C=120°，由余弦定理求得結(jié)果．

解答 （1）證明：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
又∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：設(shè)BC=x，CD=y，
∴x+y=14，
BE+DF=14-（5+2）=7，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，
∴$\frac{AB+AD}{AD}$=$\frac{BE+DF}{DF}$，
∴$\frac{14}{AD}$=$\frac{7}{DF}$，
∴AD=2DF，
∴∠DAF=30°，∠D=60°，
∠C=120°，
根據(jù)余弦定理得：EF²=5²+2²-2×5×2•cos120°=25+4+10=39，
∴$EF=\sqrt{39}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦定理，知道根據(jù)余弦定理解決問題是解題的關(guān)鍵．