Question

7．某島是我國南海上的一個島嶼，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個數(shù)學(xué)模型如圖甲所示，其中∠B=90°，AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°，請據(jù)此解答如下問題：
（1）求該島的周長和面積（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）；
（2）國家為了建設(shè)的需要，在原有島嶼基礎(chǔ)上沿海岸線AC向海洋填海，擴充島嶼的面積（如圖乙），填成一個以AC為直徑的半圓，點D在這個半圓上，求當(dāng)△ACD的面積最大時，△ACD另外兩條邊的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°求出AC、BC的長，根據(jù)周長和面積公式求出答案．
（2）當(dāng)D是AC的中點時，△ACD的面積最大，求出另外兩條邊的邊長即可．

解答 解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，AB=100$\sqrt{3}$，
∴AC=200，BC=100，
∴C_△ABC=200+100+100$\sqrt{3}$=300+100$\sqrt{3}$≈473米，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×100×100$\sqrt{3}$≈8650米，
（2）∵以AC為一邊的面積最大的三角形另一個頂點D應(yīng)是$\widehat{AC}$的中點，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=CD=100$\sqrt{2}$≈141.4米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．