Question

13．（1）如圖（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度數(shù)．

（2）圖（1）所示的圖形中，有點像我們常見的學習用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，觀察“規(guī)形圖”圖（2），試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：
①如圖（3），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=42°，則∠ABX+∠ACX=48°．
②如圖（4），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=140°，求∠DCE 的度數(shù)．
③如圖（5），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=68°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由∠1=20°，∠2=35°求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據(jù)∠A=42°，∠BXC=90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE=60°，∠DBE=140°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．
③根據(jù)∠BG₁C=$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG₁C=68°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD=140°-x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．

解答 解：（1）解：∵在△ABC中，∠A=62°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°．
∵∠1=20°，∠2=35°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=118°-20°-35°=63°．
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-63°=117°；

（2）解：（1）如圖2，連接AD并延長至點F，
根據(jù)外角的性質(zhì)，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（3）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=42°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-42°=48°；
故答案為：48°；

②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=140°-60°=80°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）=80°÷2=40°，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
=40°+60°
=100°；

③∠BG₁C=$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=68°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴$\frac{1}{10}$（140-x）+x=70，
∴14-$\frac{1}{10}$x+x=68，
解得x=60
即∠A的度數(shù)為60°．

點評 （1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．
（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．