Question

3．定義：若兩條拋物線的對稱軸相同則稱這兩條拋物線為同軸拋物線．
（1）下列關于拋物線的兩個命題：
①若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，則拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂為同軸拋物線．
②若拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂為同軸拋物線，則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，
判斷上述命題是否是真命題？若是真命題，請說明理由；若是假命題，請舉一個反例；
（2）如圖，拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9與拋物線l₂：y=ax²+bx是同軸拋物線，頂點分別為P，Q，過點Q作直線AB∥x軸，交拋物線l₁于A，B兩點，且∠APB=90°，求l₂的表達式；
（3）對于拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9上任意一點M（m，n），都有點N（2m，2m+n）在拋物線l₃上，試說明拋物線l₃與拋物線l₁是同軸拋物線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同軸拋物線的定義即可證明；
（2）先確定出拋物線l₂的對稱軸即可得出b=-8a，在利用直角三角形的性質(zhì)即可確定出結論；
（3）在拋物線l₁上取三個點，得出三個點的坐標，進而確定出拋物線l₃的解析式即可證明結論．

解答 解：（1）①真命題，
理由：∵拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁，
∴此拋物線的對稱軸為x=-$\frac{_{1}}{2{a}_{1}}$
∵拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂，
∴此拋物線的對稱軸為x=-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$，
∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，
∴-$\frac{_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂為同軸拋物線．

②假命題，
理由：①當兩個拋物線的對稱軸是y軸時，b₁=b₂=0，式子$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$沒意義；
②當兩個拋物線的對稱軸不是y軸時，b₁=b₂≠0，
拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁，
∴此拋物線的對稱軸為x=-$\frac{_{1}}{2{a}_{1}}$
∵拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂，
∴此拋物線的對稱軸為x=-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$，
∵拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與拋物線y=a₂x²+b₂x+c₂為同軸拋物線．
∴-$\frac{_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$；

（2）∵拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9，
∴拋物線l₁的對稱軸為x=4，頂點P坐標為（4，1），
∵拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9與拋物線l₂：y=ax²+bx是同軸拋物線，
∴拋物線l₂：y=ax²+bx的對稱軸為x=4，
∴-$\frac{2a}$=4，
∴b=-8a，拋物線l₂的頂點Q（4，-16a）
∵AB∥x軸，∠APB=90°，
∴PQ⊥AB，AQ=BQ=PQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=|-16a-1|=-16a-1=$\frac{1}{2}$AB，
當y=-16a時，有-16a=$\frac{1}{2}$x²-4x+9，
∴x²-8x+18+32a=0，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-4×（18+32a）}$=2（-16a-1），
∴a=-$\frac{1}{16}$（舍）或a=-$\frac{3}{16}$，
∴b=$\frac{3}{2}$，
∴l(xiāng)₂的表達式為y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x；

（3）∵拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9上任意一點M（m，n），
∴當m=0時，n=9，
∴2m=0，2m+n=9，
∴N₁（0，9），
當m=2時，n=3，
∴2m=4，2m+n=7，
∴N₂（4，7），
當m=4時，n=1，
∴2m=8，2m+n=9，
∴N₃（8，9），
∵N₁，N₂，N₃在拋物線l₃上，
設拋物線l₃的解析式為y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=9}\\{16a+4b+c=7}\\{64a+8b+c=9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-1}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴拋物線l₃的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²-x+9，
∴拋物線l3的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=4，
∵拋物線l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9的對稱軸為y=-$\frac{2a}$=4，
∴拋物線l₃與拋物線l₁是同軸拋物線．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，同軸拋物線的定義的理解和應用，解（1）的關鍵是理解同軸拋物線的定義，解（2）的關鍵是用方程的思想解決問題，解（3）的關鍵是確定出拋物線l₃的解析式，是一道中等難度的題目．