Question

4．如圖，一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）若△AOB的面積S_△AOB=24，求k的值．

Answer 1

分析 （1）解由它們組成的方程組，得關(guān)于x的二次方程，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）S_△AOB=S_△COB-S_△COA，據(jù)此得關(guān)系式求解．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴（x-4）²=16-k，
整理得x²-8x+k=0，
∵圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B．
∴△=64-4k＞0
解得：k＜16，
∴0＜k＜16；

（2）由題意，得
${S_{△AOB}}={S_{△COB}}-{S_{△COA}}=\frac{1}{2}OC（{{x_2}-{x_1}}）=24$，即24=4（x₂-x₁）．
所以（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36．
∵一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴-x+8=$\frac{k}{x}$，
∴x²-8x+k=0
設(shè)方程x²-8x+k=0的兩根分別為x₁，x₂，
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=8，x₁•x₂=k．
∴64-4k=36
∴k=7．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)，把函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，重點(diǎn)在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題．