Question

3．兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC．試判斷線段ME和線段MC之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 由全等三角形的性質(zhì)可得到DA=AB，ED=AC，接下來可證明△DAB是等腰直角三角形依據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知AM=$\frac{1}{2}$BD=MD，然后可求得∠EDM=∠MAC=105°，接下來，可證明△MDE≌△MAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到問題的答案．

解答 解：ME=MC．
連接MA．

∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，
∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三線合一），
AM=$\frac{1}{2}$BD=MD，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中$\left\{\begin{array}{l}{ED=AC}\\{∠MDE=∠CAM}\\{MD=AM}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△MAC．
∴ME=MC．

點(diǎn)評 此題考查全等三角形的判定性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，證得△MDE≌△MAC是解題的關(guān)鍵．