Question

4．如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AC和小圓相切于點B，過點B作AO的垂線交大圓于E，F，垂足為G，CF恰為大圓的直徑．
（1）求證：AB=BC；
（2）求AE：AB：BE．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由切線性質定理可得：OB⊥AB，再由垂徑定理即可得到AB=BC；
（2）連結AF，設小圓半徑為R，由△OAB∽△FBA得：$\frac{OB}{BA}=\frac{AB}{FA}$，所以AB²=OB•AF=2R²，進而可求出AB=$\sqrt{2}$R，在RT△OAB中，OA=$\sqrt{3}$R，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，在RT△AEG中，EG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R，BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，繼而可得到AE：AB：BE的比值．

解答 證明：（1）連接OB，
∵AC是小圓的切線，
∴OB⊥AC，
∴AB=BC；
（2）連結AF，設小圓半徑為R，
∵AC是小圓的切線，
∴OB⊥AC，
∴AB=BC，
又∵FO=OC，
∴AF=2OB=2R，
∵OA⊥EF，
∴$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，
∴AE=AF=2R，
由△OAB∽△FBA得：$\frac{OB}{BA}=\frac{AB}{FA}$，
∴AB²=OB•AF=2R²，
∴AB=$\sqrt{2}$R，
在RT△OAB中，OA=$\sqrt{3}$R，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，
在RT△AEG中，EG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R，
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，
∴AE：AB：BE=$\sqrt{6}$：$\sqrt{3}$：1．

點評 本題考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有切線的性質定理、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質，題目的綜合性較強，難度較大，對學生的綜合解題能力較高．