Question

6．已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB為直徑作⊙O，與BE邊相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AE于點(diǎn)D．
（1）求證：D是AE的中點(diǎn)；
（2）求證：AE²=EC•EB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到AE為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD=CD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠DCA，由圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCE=∠DEC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠BAE=90°，AB為直徑，
∴AE為⊙O的切線，
又CD為⊙O的切線，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
又AB直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∴AD=DE，
即D是AE的中點(diǎn)；

（2）解：∵∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=90°，
又AB直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠CAE=∠ABC，
又∠E=∠E，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=EC•EB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．