Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4$\sqrt{3}$，以點(diǎn)C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB邊交于點(diǎn)D，將$\widehat{BD}$繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°后點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好重合，則圖中陰影部分的面積為$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=AD，S_弓形BD=S_弓形AD，再證明△CBD為等邊三角形得到∠CBD=∠BCD=60°，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=4，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=2S_弓形BD進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：∵將$\widehat{BD}$繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°后點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好重合，
∴BD=AD，S_弓形BD=S_弓形AD，
∴CD為斜邊AB邊上的中線，
∴CD=BD=AD，
∵CD=CB，
∴△CBD為等邊三角形，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
在Rt△ABC中，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{3}$=4，
∴圖中陰影部分的面積=2S_弓形BD=2（$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²）=$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形面積的計(jì)算：陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．