Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+3x+k-1=0有實(shí)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時(shí)，設(shè)二次函數(shù)y=x²+3x+k-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
①求△ABC的面積；
②連接AC，過B作BH⊥AC于H，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=3²-4（k-1）≥0，然后解不等式求出滿足條件的正整數(shù)即可；
（2）把（1）k的中分別代入方程可判斷k=3滿足條件，當(dāng)k=3時(shí)，方程變形為x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，從而得到A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（-2，0），再求出C（0，2），
①根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積；
②討論：當(dāng)A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），利用等腰直角三角形的性質(zhì)求BH；
當(dāng)A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），則利用面積法求BH．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=3²-4（k-1）≥0，解得k≤$\frac{13}{4}$，
而k為正整數(shù)．
所以k的值為1、2、3、4；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，方程變形為x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=-3，
當(dāng)k=2時(shí)，方程變形為x²+3x+1=0，解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)k=4時(shí)，方程變形為x²+3x+3=0，方程沒有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)k=3時(shí)，方程變形為x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，
此時(shí)二次函數(shù)為y=x²+3x+2，A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（-2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+3x+2=2，則C（0，2），
①△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
②當(dāng)A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），
∵OC=OA，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），則AC=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$•AB•OC，
∴BH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即BH為$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了三角形面積公式．